СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

- сравнение, в к-ром модуль является простым числом. Отличительной чертой теории С. по п. м. является то, что классы вычетов по модулю . образуют конечное поле из рэлементов. Поэтому С. по п. м. можно трактовать как уравнения над простыми конечными полями и применять для их изучения, наряду с методами теории чисел, алгебро-геометрические методы.
Одним из основных вопросов теории сравнений от одного переменного х, имеющим важное значение в теории алгебраич. чисел, теории кодирования и других разделах математики, является вопрос об изучении законов разложения

по простому модулю рпроизвольных целочисленных многочленов f(х)на неприводимые сомножители.
Основным вопросом теории С. по п. м. . от переменных является вопрос о числе решений алгебраических сравнений

когда независимо друг от друга пробегают или все множество классов вычетов по модулю р(задачи на полную систему вычетов), или же нек-рую его собственную часть (задачи на неполную систему вычетов).
Первые результаты в исследовании вопроса о числе решений квадратичных и биквадратичных сравнений с двумя переменными были получены К. Гауссом [1] и Ж. Лагранжем [2]. Э. Артином [3] была установлена связь задачи о числе решений гиперэллиптич. сравнений на полной системе вычетов по простому модулю рс гипотезой Римана для введенных им -функций полей алгебраич.функций с конечным полем констант. В частности, им была высказана гипотеза, что для числа N_p решений сравнения где многочлен f(х)=х ⁿ -а₁ х ^n-1 +....+a _п не является квадратом другого многочлена по модулю р, справедлива оценка

(здесь [х]- целая часть числа х).
Гипотеза Артина впервые была доказана X. Хассе [6] для случая эллиптич. сравнений

Позже А. Вейль [8] распространил метод Хассе на общий случай и получил для числа N_q решений уравнения f( х, y)=0 в элементах поля F_q, состоящего из q=p^r элементов, где f( х, у) - абсолютно неприводимый многочлен с коэффициентами из F_q, оценку

Метод Хассе - Вейля сложен и требует привлечения современного аппарата абстрактной алгебраич. геометрии. В работе [7] найден простой и чисто арифметич. метод доказательства результатов Хассе - Вейля.
Менее изучены С. по п. м. от ппеременных. В качестве общего результата здесь можно указать следующую теорему. Пусть f(x₁, . . ., х _п )абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами. Тогда для числа N _р решений сравнения

имеет место оценка

где константа с(f) не зависит от р. Более сильная оценка получена П. Делинем [9].
О С. по п. м. на неполной системе вычетов см. Виноградова гипотезы, Двучленное сравнение, Распределение степенных вычетов и невычетов.

Лит.:[1]Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с нем., М., 1959; [2] Lagrange J. L., Oeuvres, t. 3, P., 1869, p. 189-201; [3] Аrtin E., лMath. Zeitschrift